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\(L^p \) 空间卷积运算存在单位元吗?
证明 \(\ell^2\) 的 Hamel 基是不可数集. 更一般地, 无穷维 Banach 空间的 Hamel 基也是不可数集.
证明算子 $$ T f(x)=\frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{f(y)}{x+y} \mathrm{~d} y $$ 在 $L^2(0, \infty)$ 上是有界的，且求其范数 $\|T\| $.
证明 $$ \zeta(z) =\prod_p \frac{1}{1-p^{-z}}$$
设 \(f\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的非负局部可积函数, 假如存在某个 \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) 使得 \(M f\left(x_0\right)=0\), 则 \(f\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 中几乎处处等于零.
如何具体构造一个三维复射影空间中亏格为 \( g\) 的紧黎曼面？（表示成两个多项式的零点集或者参数化）
设 $(X, d)$ 是度量空间，$\left\{x_n\right\}$ 是 $(X, d)$ 中的 Cauchy 点列，证明：$\left\{x_n\right\}$ 收敛当且仅当 $\left\{x_n\right\}$ 存在收敛子列
设 $C_0$ 表示极限为 0 的实数列全体，按通常的加法和数乘，以及 $$ \|x\|=\sup _i\left|\xi_i\right|, \quad x=\left(\xi_i, \xi_2, \cdots, \xi_n, \cdots\right) $$ 构成 Banach 空间，证明：$\left(C_0\right)^{\prime}=l^1$ ．
设 $X$ 是赋范线性空间，$x_1, x_2, \cdots, x_k$ 是 $X$ 中 $k$ 个线性无关向量，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$是一组数，证明：在 $X$ 上存在满足下列两条件： （1）$f\left(x_v\right)=\alpha_v, v=1,2, \cdots, k$ ， （2）$\|f\| \leq M$ 的线性泛函 $f$ 的充要条件为：对任何数 $t_1, t_2, \cdots, t_k$ ， $$ \left|\sum_{v=1}^k t_\nu \alpha_v\right| \leq M\left\|\sum_{v=1}^k t_\nu x_v\right\| $$ 都成立．
设 $F$ 是 $n$ 维欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 中有界闭集，$A$ 是 $F$ 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任意 $x, y \in F(x \neq y)$ ，有 $$ d(A x, A y)< d(x, y), $$ 证明映射 $A$ 在 $F$ 中存在唯一的不动点．
设 $X, Y$ 是赋范空间，且 $X \neq 0$ ，证明 $Y$ 是 Banach 空间当且仅当 $L(X, Y)$ 是 Banach 空间.
$(\Omega, \mathscr{B}, \mu)$ 是测度空间，$X=L^2(\Omega, \mu), X^*=X$ ，函数 $K: \Omega \times \Omega \rightarrow$ $\mathbb{K},(x, y) \mapsto K(x, y)$ 且 $$ \int_{\Omega \times \Omega}|K(x, y)|^2 \mathrm{~d} \mu_x \mathrm{~d} \mu_y:=M<+\infty $$ 对 $\forall u \in L^2$ ，定义 $$ T u(x):=\iint_{\Omega} K(x, y) u(y) \mathrm{d} \mu_y $$ 则（1）$T \in \mathscr{L}\left(L^2, L^2\right)$
（2）对 $\forall u \in\left(L^2\right)^*=L^2,\left(T^* v\right)(y)=\int_{\Omega} K(x, y) v(x) \mathrm{d} \mu_x$
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